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数学のオリジナル図形問題

 どうもこんばんはライネです。
 実は昨日の記事を書いていて、悩んでいたことがあるのです。
 この図をご覧ください。

三圃式農業

 これは中世ヨーロッパで行われていた三圃式農業を図で示したものなのですが、
 悩みと言うのはまさにこれのことだったのです。

 厳密に農地を3等分していたわけでもないかもしれませんが、
 個人的には図の面積をきっちり3等分したかったのです。

 例

 このように縦や横に三等分すれば楽なのですが、
 もうひとつこだわったのは、図の中央部です。
 1年ごとに土地の使われ方が変化することを示す矢印を、どうしても丸型で示したかったのです。
 
 丸型で示すには、縦や横で図を3等分するわけにもいかず。
 あれやこれやと試行錯誤したものの、最後は適当にあの形にしたのですが、
 厳密には3等分になっていないと思います。

 今日はずっと、あれはどうやればよかったのかと考え続けて、やっと答えが出ました。
 ひとまず皆さんにも同じ条件で考えていただきたいので、こんな問題を出してみます。


 次の図のように、縦5cm、横6cmの長方形があります。
 この長方形に線を引いて、等しい面積の3つの図形を描きなさい。
 ただし、3つの図形ともに図の中心部で他の図形と接することとする。

長方形





 以下、答えです。
 皆様もお考えください。

 ちなみに世紀の大発見とばかりに先生に報告したら、
 賢い小学生なら解けると言われました…。



















 まず、図の中心と言うのは横3cm、縦2.5cmの位置にある点です。
 そして、元の長方形の面積は30平方センチメートルなので、
 1つの図形の大きさは10平方センチメートルになります。

 
 自分で出した問題ではありますが、10平方センチメートルで、
 5cm×6cmの長方形に収まる3つの形なら何でも良いというのがポイントでして、
 この条件ならどんな形でも構いません。

 私は向かい合う台形とその下に五角形という分け方をしたのですが、
 もしかするとこの他にも答えはあるかもしれません。


 実は1つの図形の大きさが10平方センチメートルになるという時点で、
 もうほとんど答えは出てしまっているようなものなのですが、
 これに気付くのに一日かかってしまったわけです。

 台形の場合、上底が2.5cmで高さが3cmというのは決定事項なので、
 要するに下底を調節して面積が10平方センチメートルになるようにすればいいわけです。
 つまりこういう結果になります。

数式
 
 この図が書けた時点で、ほとんど終わりでして、あとは同じく4.166…cmの下底を持つ台形を、
 反対側に書き、残った場所は必然的に10平方センチメートルの五角形になるわけです。

 ちなみに五角形部分を分析してみますと、
 
答え

 αの長さが5-4.166…なので、0.8333…cm、
 βの部分が4.1666…-2.5なので、1.666…cmとなります。

 補助線より下の長方形部分が6×α(0.8333)で、約5平方センチメートル、
 補助線よりも上の三角形部分が、(6cm×β(1.666))/2で、やはり約5平方センチメートル。
 足して10平方センチメートルになるので、ぴったり3等分できたことになるわけです。 
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合言葉は「真面目な事を不真面目に!」
記事の真偽は自己責任でお願いします。

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