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謎のサイン

 どうもこんばんは、ライネです。
 長かった数学への挑戦もひと段落しまして、やっとこ通常営業です。
 そういえば、今日から10月ですね。
 暑いですが…


 何故、突然数学に目覚めてしまったと言いますと、
 かっこよく言えば、数学という分析方法が欲しかったというだけです。

 具体的に言いますと、もうずいぶん前に作った気がしますが、
 メルカトル図法での東西方向をおぼえているでしょうか?

地図上の東西

 これですね。
 実はある地点からの東西方向を示す線がサイン(コサイン)が示す曲がり方とよく似ているのです。

サインカーブ
 ※この図は-180度から180度までのコサインの数値をそのままグラフにしたものです。

 ※今回はコサインカーブを使いましたが、サインとコサインは波の頂点が180度分違うだけの
  同じ波になるので、北半球ではコサイン、南半球ではサインの曲がり方が東西方向によく似ている
  ことになります。


 おそらくこれには何らかの必然があるはずなのですが、残念ながら数学が苦手な私には、
 この関係を証明する方法がなかったわけです。
 そして、これこそが私をノイローゼにした原因でもあります。

 推測ではありますが、例の「メルカトル図法の数学的な説得力」の意味が分かれば、
 答えが出るのだとは思いますが、いまだに良く解りません。
 申し訳ございませんが、この件に関してはもう少しだけお待ちください。


 ついでと言ってはなんですが、サインについて少し学んだことで、
 メルカトル図法でも、正距方位図法でもうまく描くことのできなかった
 面積を正しく描くことのできる地図について、理解することができました。

サンソン図法

 これをサンソン図法といいまして、形はゆがむものの、面積的には正しい地図になっています。
 この地図はメルカトル図法の嘘であった、
  ・「高緯度でも緯線の長さが同じ」
  ・「経線がどこまでも平行」
 という問題を解決できていますね。
 ただ欠点は、赤道からも図の中央にある縦線(経線)からも離れた地域は、かなりぐにゃりと曲がっています。

 原因は簡単でして、縦線(経線)にサインが示す曲がり方(サインカーブ)を採用しているからです。
 図の中央の縦線は直線なのですが、離れる程サインカーブがきつくなっていくため、形がゆがんでしまいます。
 ただ、曲線を使うことで北極と南極で縦線が集まるというアイディアはいいですね。


 つづいてもうひとつ、サンソン図法の双子の兄弟ともいえるのが、次のモルワイデ図法です。
 この地図も面積を正しく表すことのできる地図なのですが、やっぱり形がゆがんでいますね。

モルワイデ図法

 ちなみにこれはサインカーブではなく、経線に楕円の曲線を採用しています。
 最初はサインカーブと楕円曲線の違いが良く解らなかったのですが、
 ようするに楕円というものは、中心となる点が2こある円のことです。

楕円

 このように、楕円の円周上から、2つの中心点までの長さの合計が一定の円のことを楕円と呼ぶわけです。
 この地図でもメルカトル図法の欠点をだいぶ克服できていまして、
 海を含んだ地球全体の面積を正しく表そうとした場合、この地図がよく使われるそうです。
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合言葉は「真面目な事を不真面目に!」
記事の真偽は自己責任でお願いします。

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