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数学に挑戦①

 こんばんは、ライネです。
 いきなりですが、昨日から頭がフル回転状態でして、
 あれやこれやと色々なことが思い浮かんでいます。
 こうなると反動でたぶん明日はずっと寝ている気がします。

 特に現在の所、ブログのネタには困っていないのですが、
 この思いついたことをできるだけ噛み砕いて解説していこうと思います。


 そういうわけで、今日は数学のお話です。
 地球観察ブログと言っておきながら数学とはどういうことだと思う人もいるでしょう。

 数学というものは物事を理解するためには大変有用な道具です。
 そのため、私が知りたいことを知るために、数学が必要になってきます。
 地球観察のために、数学はどうしても避けて通れない道なのです。
 数学が苦手だという皆様もご安心ください!

 
 私はもっと苦手です!!


 そもそも、どちらの世界でも数学と物理学は共通ですが、
 あちらの世界の最先端の数学も、こちらの世界ではまだまだ初歩レベルだと思います。
 しかも、その初歩レベルなものですら私は苦手なわけです。

 だからこそ必要なところを、私が納得できるレベルでかいつまんで説明させていただきます。
 私と同じように、数学が苦手な皆さんもこの機会に少しだけ触れてみてください。

 そして、数学が得意だと言う皆様は、どうか優しく見守ってください。
 何分、思いだしながら&付け焼刃な知識なもので、間違っているところがあるかもしれませんが、
 その時は遠慮なく指摘していただければ幸いです。



 さて、本日の主役は平面上の三角形さんです。
 いきなりですが、こちらの世界には、平面上ではない三角形さんに関する分野もあるそうです。

 確かに、私たちが生活している世界は球面上なので、むしろ平面上の世界の方が特殊なのですが、
 地球という球面を実感しながら生活しているわけではありません。
 そういうこともありまして、私が教えられた三角形さんは全て平面上にありました。

 なお、こちらの世界では平面上の図形に関して研究する分野を「ユークリッド幾何学」、
 平面上ではない図形に関して研究する分野を「非ユークリッド幾何学」と言うそうです。
 というわけで、以下の話は全て「ユークリッド幾何学」で進みます。
 改めて述べない場合は全て、「平面上の」という言葉が付いているものとしてご理解ください。

三角形
 
 三角形さんは、かなり一般的な図形なのですが、少し変わった特性があります。
 あちらの世界の言い方を使うと、どんな三角形さんでも全ての角を合わせると直線になるのです。
 こちらの世界の言い方では「内角の和は180度になる」というやつです。

内角の和


 お気づきとは思いますが、このような性質などもあって、三角形さんは数学を勉強する上で
 大変役に立つ図形ということで、あちらの世界では初等教育でも大活躍しておりました。
 そういうこともありまして、あちらの世界流に三角形さんと敬称込みで呼んでおります。

 さて、どんな三角形さんでも内角の和は180度になるということは、
 三角形さんの3つの角のうち、2つが解ると残りの1つの角度も解ってしまいます。
 
二角相当

 色々調べた結果、こちらでも「相似」という数学的な言い方がありました。
 大きさは異なるかもしれないけれど、同じ形をの図を「相似」と言うそうです。
 「相似」で言えば、三角形さんの「二角相等」というものが私の説明している話になります。

 このほかに「相似」になる条件には「三辺比相等」や「二辺比夾角相等」などもあるそうです。

相似

 さて、三角形さんには、1つの角度が直角(90度)である、「直角三角形」さんや、
 全ての角の大きさ(辺の長さも)が等しい「正三角形」さん、
 2つの角度(2辺の長さも)が等しい「二等辺三角形」さんなどの仲間がいます。

3つの三角形

 そして今日の主役は「直角三角形」さんです。
 直角三角形さんは、最初から1つの角度が90度なので、残りの2つの角度は、
 かなり限定されてしまいます。

直角三角形

 ちなみに限定されると言えば、正三角形さんは、このほかの形がありません。
 正三角形さんは、それを名乗るすべてが相似なのです。
 角度は全て180÷3で、60度になります。

 さて限定される直角三角形さんのもうひとつの角aをたとえば、30度にしてみましょう。
 すると、残った角bは60度になりますね。
 
 これと同じものを下にぴったりくっつけると、次のような図が出来上がります。
 おお、正三角形さんの出来上がり。

30度

 さてここからがポイントなのですが、
 Aの三角形さんは、「ななめの所が1、縦のところが0.5」という関係になっています。
 こうなってくると、?のところが知りたいですね。 


 これは「三平方の定理」というものを使うことで解ります。
 面白いことに、この理論は、両方の世界共通で、正方形(直角二等辺三角形さんが2つ)のタイルを
 ずっと見ていたおじさんが発見しました。

 簡単にまとめると、次のような結果になります。

三角比

 これをこちらのやり方で解くと、「? = √0.75」になるわけです。
 ちなみに電卓を使って調べると、「√0.75」は、0.86603だそうです。

 同じやり方で、角aが60度、45度の場合を調べると、このようになります。

60s.jpg

45.jpg

 いろいろな直角三角形さんの辺の比を見てきたわけですが、
 このほかにも、角aが1~89の場合までやろうと思えば、計算することができるわけです。
 でも、とてつもなく大変なのと、これ以外のやり方は納得できるように説明できないので省略。
 
 さて、「相似」というものは、「大きさは違うかもしれないけれど同じ形」でした。
 つまり、このように角度と辺の比さえ解ってしまえば、
 遠くにある物の高さを計測することが簡単にできるわけです。

結論

 もうちょっとだけ続きます。
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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Author:ライネ
ライネと申します。
先生の家に居候するラザフォード人です。
現在この世界のことを勉強中。
リンクとかもろもろ含めて商業的利用以外ならご自由にどうぞ。面白そうな企画には飛び乗ります。

合言葉は「真面目な事を不真面目に!」
記事の真偽は自己責任でお願いします。

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