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祝1000日記念 フェルマーの最終定理を考える


 どうもこんばんはライネです。

 2012年8月24日に始まった当ブログですが、昨日で1000日目となりました!
 一足早く1000記事も達成です。

 というわけで、今回は何か記念になることをしようと思います。 
 散々、眠くなるとか、意味が分からないと言われてきたので、
 とことん眠くなる話でもしてみましょう・・・。


 祝1000日記念「フェルマーの最終定理を考える」

 フェルマーの最終定理とはどういうものかと言いますと、
 
 「2より大きい冪を持つ冪乗数は、2つの冪乗数の和に分けることができない」
 という定理を証明できるかできないか。

 というものです。


 数式で表すとこんな感じです。

フェルマー1


 この時、成り立つのであればX、Y、Zには自然数ならどんな数字を入れてもいいそうです。
 自然数というのは簡単に言えば指で数えられる数字のことで、
 1,2,3,4,5・・・という風に、普段使っている数字です。

 0やマイナス、0.3とか2.5とかは指で数えられないので駄目です。
 100などの大きい数字でも、頑張れば指で数えることはできるのでよいようです。

 nの部分については、冪というもので、その回数だけ同じ数を掛けなさいという意味です。

フェルマー2


 例えば3に対するnが2の時は、3×3で9、nが3のときは27となります。
 つまり、nが1や2のときなら、X、Y、Zにいくらでも数字は入るけれども、
 3以上になると無理だということは真実なのか、真実だとしたら証明できるのか。

フェルマー3



 というのが、フェルマーの最終定理というわけです。
 ちなみに数学では、定理とは証明できたものを言うので、今となっては定理でいいのですが、
 少し前までは本来なら「予想」という「証明できないけど正しそうなこと」と言った方が、
 正しい言い方だったそうです。


 このフェルマーの最終定理の凄いところは、問題が私にもわかるところにあります。
 数学の難しい問題は、そもそも一般人には問題が何を言っているのか解りません。

 「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」

 と言われても、わからないことだらけで、一応問題そのものはまだ理解できるのですが、
 どこから手を付けていいのか分かった物ではありません。
  ※ちなみにこの問題(ポアンカレ予想)はすでに証明されています。

 けれどもフェルマーの最終定理はとりあえず、考えることはできる。
 というか、意外と「できそう」な問題だったのです。


 まさか360年も誰にも証明されなかったとは思えません。
 ひとつ性質が悪いのは、フェルマー自身は「証明できるんだけど、紙が足りない!」
 と言い残していることです。

 現在では、フェルマーの勘違いだったんじゃないかと言われているのですが、
 360年間ものあいだ、超一流の数学者から、私のような数学音痴まで悩ませたのは、
 凄い問題だとしか言いようがありません。

 これを目指して数学を志し、数学者として大成した人もいるので、
 そういう意味でも凄い問題だったわけです。



 さて、360年間もの間、全く何の進展もなかったかというとそうではなく、
 nが3の場合、4の場合、素数の場合などなど、個別に証明されることはありました。
 でも、3以上という場合、それこそ無限大に証明しなくてはいけないので、
 そんなに簡単な話ではなかったようです。



 以後は数学的に難しい話になるので、可能な限り詳しい話は省きます。



 いまからちょうど60年前、日本の数学者がこんな発表をします。
 「全ての楕円曲線ってモジュラーなんじゃない?」
 このあたりはさすがに理解するのが難しい話なので、
 例えるなら「リンゴって全部赤くない?」と言っているとお考えください。


 そしてその後、ドイツの数学者がこんな発表をします。
 「フェルマーの式に答えがあるとして楕円曲線作ってみると、モジュラーにならない」
 言い換えれば「フェルマーのやり方でリンゴつくると、青くなるっぽい」
 と言うことがわかったのです。


 「全てのリンゴが赤い」というのが正しければ、「青いリンゴ」は存在しない。
 つまり、フェルマーの式に答えが無いことが証明できるわけです。
 日本の数学者が言っている話が正しいということさえ証明できれば、
 フェルマーの最終定理を証明できることがわかったわけですね。

 とはいえ、無限にあるリンゴが全て赤いものしかないか調べるわけにもいきません。
 そこで様々な時代の数学者が残した色々な定理(正しい証明)をたくさん使うことで、
 ごくごく一部のリンゴだけを調べればいいことがわかり、
 いまから20年前、フェルマーの最終定理は証明されることとなりました。


 実際の所、フェルマーの生きていたころの理論だけでは証明できず、
 様々な数学者がフェルマーの最終定理とは違う所で生み出した理論がたくさん使われているそうです。
 少年漫画のような熱い数学のエピソードですね。
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プロフィール

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Author:ライネ
ライネと申します。
先生の家に居候するラザフォード人です。
現在この世界のことを勉強中。
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合言葉は「真面目な事を不真面目に!」
記事の真偽は自己責任でお願いします。

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