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三角測量で行けない場所を計測する方法

 こんばんはライネです。
 今日は三角測量についてまとめてみたいと思います。


 やっぱり三角測量も三平方の定理を応用した測量方法だそうです。
 もう説明は不要だと思いますが、ここから見始めた人は昨日の記事をご覧ください。
 というわけで簡単に測量のしかたを説明してみましょう。 


 三角測量をするには、まず計測しやすい直線(基線)を調べる必要があります。

三角測量手順1

 これがなかなか厄介で、現在では簡単に計測する道具がたくさんあるのですが、
 そういったものがない時代には測量誤差を生む要因だったそうです。

 また、直線を計測する技術が発達した現代では、三角測量に代わって、
 三辺測量というまた別の測量方法もあるそうです。
 こちらについてはまた後日ということで。



 さて基線を計測できましたら、基線の両端から見通しの良い場所なら、
 どこでもその位置を正確に求めることができるようになります。

三角測量の応用

 これは三角測量ならではですね。
 行きにくい場所までの距離を計算で導き出すことができるわけです。

 「出来るわけです」と言われても、わけが分からないかもしれません。
 数学が苦手な私は1時間ほど図を見ていて、やっとどういう意味か解りました。

 もう一回CやDから基線まで垂直な線(γ)が引ける場所まで戻るのかとも思ったのですが、
 そんなことはしなくても、タンジェントを使えばよさそうです。
  ※詳しくは9月28日の「数学に挑戦②~淡々タンジェント~」をご覧ください。


 忙しい人のために大切なところだけ説明すると、
 タンジェントを使うということは、次の方法をとるということです。

おさらいタンジェント


 そして、ここからが難しかったのですが、
 赤い三角形さんも青い三角形さんも共通で、こんな計算をすればよい訳です。

三角測量の応用2


 ということで、知っている数値だけでγの長さを出せそうです。
 
  「辺γ = 辺αβ/{(1/tanα°)+(1/tanβ°)}
 この形になれば、なんとなく解っていただけるでしょうか?

 
 辺γが解れば、辺AC(辺AD)も、辺BC(辺BD)も、
 サインαと、サインβをつかえばだせますね。
  ※詳しくは9月29日「数学に挑戦③~咲いたコスモス~」を参照してください。


 まあ、これは測量できないC(D)を調べる方法というだけで、
 測量できる地点であればC(D)も測量した方が誤差をカバーできてよさそうです。
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三角測量で全国をカバーする方法

 どうもこんばんはライネです。

 昨日は応用編というか、あれは三角測量の一番大事な話だったわけです。
 というわけで今日はこれを使って全国をカバーする規模の三角測量について説明しましょう。


 まずは昨日説明した、基線を測量するところ。
 これはもう大丈夫ですね。
三角測量手順1


 続いてその両端のA・Bから未知の点CとDを求めます。
 ここが難しく、わかりやすくて見通しの良い目標が必要です。

三角測量の手順2

 国土地理院さん(の前身組織)がこれを行ったときには、
 背の高い簡単な目標物(やぐら)を立てて、そこを点CやDをしたそうです。

 そうすると、今度はCとDから未知の点EとFが求められるようになります。
三角測量の手順3

 これを繰り返していくことで、
 大きな三角形さんをどんどん測量できるようになるわけです。

 なお、三角測量の目標となった場所を「三角点」と呼んでいます。
 これは現在も大切に残されていまして、

三角点

 こんな感じの石が置かれています。
 初詣の時に先生の氏神様のいらっしゃる神社で見つけたので写真に収めてきました。
 あ、ちなみにこれを壊すと、2年以下の懲役か100万円以下の罰金ですのでご注意ください。
  
 写真は三等三角点と呼ばれる、より狭い範囲の三角測量の目標点なのですが、
 一番最初に作られた一等三角点は、約40km間隔で全国をカバーしているそうです。

三角測量の手順4

 こうすることで、高さ(水準点)の測量のときのように、全国でつながった地図を
 作ることができるようになるわけです。

 この作業については国土地理院さんのウェブサイトに詳しく説明されているのですが、
 時には死を覚悟することもある困難な作業だったそうです。

 また、40km間隔で三角点があると言うことは、40km先の目標を捉えなくてはいけません。
 しかも当時は無線で連絡する技術もなく、鏡で太陽の光を反射させることで、
 目標位置を知らせるとともに、光の点滅を使って連絡を取っていたそうです。

三角点の等級って何が違うの?

 どうもこんばんはライネです。

 三角測量を調べて分かったことなのですが、
 距離が遠くなると、距離を計測するよりも角度を計測するほうが簡単になるようです。

 現在はVLBIなんていうとんでもないくらい正確な計測ができるのですが、
 100年近く前にはそんなことできるわけもないですしね。
 なので、精度を高くしようと思ったら三角測量の方が良かったわけです。
  ※VLBIについては1月19日の「原点方位角って何のためにあるの? 前編」を参照してください。


 ちなみに基線をひとつにすると、遠くに行くほどだんだんと誤差が溜まってしまうので、
 全国に14か所の基線を作ったそうです。
 それぞれの基線から広げた三角測量をくっつけることによって誤差が少なくなるような
 工夫をしていたわけです。


 こうして一等三角点(の本点)が全国に40kmほどの間隔で作られたわけなのですが、
 これだけでは精度があまりよくありません。

 いくら距離を計測するよりは簡単だと言っても、角度の計測にも誤差が発生してしまうので、
 これを補うために一等三角点には25km程度の間隔で補点と呼ばれるものも含まれるそうです。
 こうした補点を含めた一等三角点は全国に約1000点あります。



 さて、これで全国をカバーできたわけですが、5万分の1の地形図は約1300枚、
 2.5万分の1の地形図は約4400枚あります。

 できるだけ正確な地図を書こうと思ったら、できるだけ多くの三角点を基準にしなければいけないので、
 1000個しかない一等三角点だけでは、地図中に1つも三角点が無いということになってしまいます。
 遠くの三角点を参考にしていたら誤差が出てしまう。
 また、一等三角点の精度を上げるためにも、もっと狭い範囲に多くの三角点が必要でした。 


 というわけで、さらに一等三角点を含めて8km間隔くらいになるように、
 二等三角点が全国に約5000点作られました。

 そこからさらに、4km間隔になるように三等三角点が全国に32000点近く作られています。
 Wikipediaによれば「現在の技術水準においては、2万5千分1地形図を作成するための位置の基準としては、
 以上の等級の三角点で充足される」わけなので、地形図用としてはここまでで良いようです。


 けれども、さらに狭い範囲の地図を詳しく描くために、
 2km間隔程度の四等三角点が全国に7万点作られていて、
 これで日本中をカバーする三角点(三角網)が完成しました。
 めでたしめでたし。

三角点設置数



 ちなみに五等三角点というものも全国に数か所あるそうですが、
 これは小さい島などを測量するための物で、少し毛色が違います。

三角測量と三辺測量

 最近、どうでもいい話をしてない事に気が付きました。
 追いかけている話そのものが面白く、そればっかり考えているので、
 どうでもいい話題がないというのが原因です。

 まあ、そんなことはさておきまして、三角測量です。
 これまでに説明した通り、特にすごい機械を使わずに行われた三角測量ですが、
 現在はあまり行われておらず、GPSなどのすごい機械が利用できるようになってからは、
 三角点もGPSによって測量されているようです。

 また、お気づきの方もいたかもしれませんが、
 今の三角点には黄色いシールのようなものが張られています。

インテリジェント基準点

 こういう三角点のことを「インテリジェント基準点」と呼んでいて、
 黄色いシールはその三角点の位置情報を持った小さなコンピューターなのだそうです。

 これがある場合、Suicaのような感じで近くでピピッとやれば、
 その三角点の位置が簡単にわかるのだとか。
 最近になって、測量は物凄いスピードで進化を続けているようです。



 さて、三角測量は距離を計測するのを極力省いた物でした。
 これがGPS測量に代わっているのは説明した通りなのですが、
 その過渡期には、「三辺測量」と呼ばれる測量方法も行われていたようです。

 今日はこの三辺測量について、簡単に説明したいと思います。
 とはいえ、実は基本的なところは三角測量と大して変わらない様です。

 強いて言えば、三角測量が苦手とする距離の計測をメインに行っている感じですかね。

三辺測量


 どうやってその苦手を克服したかと言いますと、それは単純に機械の進歩です。
 正確に同じ速度で直進する「光」の性質を使うことで、
 精度の高い距離の計測が可能になったそうです。

 細かく言えば光は曲がったり、同じ速さじゃなかったりすることもあるのですが、
 普段生活している分には全く気付けないくらいの誤差です。
 たぶんどんなに正確に測量をしても、光の誤差よりも人為的な誤差の方が割合が大きいでしょう。


 使い方としては、どこか基準になる点に光を出す装置を置いて、
 目標となる場所に鏡(プリズムと言う)を置きます。

 で、装置から光をだしてそれが鏡に反射して帰ってくるまでの時間を計測すれば、
 距離がわかると言う物です。

光で距離を計測する


 ところが、話は単純にいきません。
 まず、光の速さは1秒間に地球を7周半するほどなので、1km程度の距離では一瞬も一瞬です。
 なので、光に少し工夫をしているそうなのです。

 
 そして、光は「真空」では同じ速さで進みますが、気温や湿度や気圧で少し速度が変わるそうです。
 なので、測量をするときにはそういったデータも一緒にとっておくことが必要になります。


 最後に、機械とはいえ完璧なものではないので、この機械そのものの誤差を修正するために、
 基準点と観測点の間でもう一度距離を計測して補正をかけます。



 この様な手順で1つの距離が計測できれば、
 これを3回やることで三角形さんの各辺の距離が分かります。
 三辺が分かれば、もうその三角形さんの形はそれ以外無くなりますので、
 角度も解ると言う寸法です。

トラバース測量について

 どうもこんばんはライネです。

 測量をテーマに調べ、「水準測量」、「三角測量」、「三辺測量」と見てきました。
 これらの測量は、細かい位置などを調べることもできるのですが、
 どちらかというと、全国規模の基準点を作る目的で使われてきたそうです。

 地形図には、「水準点」や「三角点」の記号でこの場所が描かれています。
地形図の基準


 また三辺測量は、地形図作成には使われなかったそうなのですが、
 2km程度は一度に計測できるそうなので、これも見通しの良い狭い範囲ならば、
 基準点を作ることはできます。

 そのあとはこの基準点から細かい測量をしていくそうなのですが、
 その話はまた後でするとして、今日は三辺測量のように狭い範囲で基準点を測量する
 多角測量(トラバース測量)について説明してしまいましょう。


 これは言葉からもイメージできると思いますが、多角形を使った測量です。
 三角形さんをたくさん使えば、多角形になります。

多角形と三角形

 なので、三角測量や三辺測量を使ってもできるのだと思いますが、
 既に建物などがある場合、自由に形を決められる多角測量の方が便利だということでしょう。

障害物と三角形



 なお、こちらは角度と一緒に「距離」を使った計測なので、
 三辺測量と同じように正確な距離を計測できるようになってから、
 注目されるようになった測量方法だそうです。

 現在では三辺測量と同様にGPSの登場によって、あまり使われなくなったそうなのですが、
 GPSは特にビルなどが立ち並ぶ所では電波が反射して、
 正確な位置が割り出せない時もあるそうなので、場所によってはまだまだ現役だそうです。



 方法としては、まずはざっくりと基準点を決めてしまいます。
 
トラバース測量手順1


 そのあと、角FABの角度を計測します。

トラバース測量手順2


 そして辺ABの距離も計測します。
 これを繰り返していくことで、完了だそうです。
 なお、この様な多角形を作る方法を多角形測量の中でも「閉合トラバース」と言います。

トラバース測量手順3


 ということは「開放トラバース」と言うものもあるらしく、
 こちらは多角形を作らずに、どんどん伸びていくものだそうです。

開放トラバース

 多角形には「内角の和」というものがあるので、閉合トラバースの場合は、
 これを比較することで誤差がどの程度あるのか解るのですが、
 開放トラバースではこれが利用できないため、あまり利用されていないそうです。


 多角形の内角の和に関しては、特に説明する必要もないかもしれませんが、
 三角形さんの内角の和が180度なので、

内角の和

 多角形の中に入る三角形さんの数で、簡単に計算することができますね。
 中に入る三角形さんの数は、その角の数から2を引いた数なので

多角形の頂点と中の三角形


 公式としては

  n角形の内角の和 = (n-2)×180 

 ということになります。
プロフィール

ライネ

Author:ライネ
ライネと申します。
先生の家に居候するラザフォード人です。
現在この世界のことを勉強中。
リンクとかもろもろ含めて商業的利用以外ならご自由にどうぞ。面白そうな企画には飛び乗ります。

合言葉は「真面目な事を不真面目に!」
記事の真偽は自己責任でお願いします。

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