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謎のサイン

 どうもこんばんは、ライネです。
 長かった数学への挑戦もひと段落しまして、やっとこ通常営業です。
 そういえば、今日から10月ですね。
 暑いですが…


 何故、突然数学に目覚めてしまったと言いますと、
 かっこよく言えば、数学という分析方法が欲しかったというだけです。

 具体的に言いますと、もうずいぶん前に作った気がしますが、
 メルカトル図法での東西方向をおぼえているでしょうか?

地図上の東西

 これですね。
 実はある地点からの東西方向を示す線がサイン(コサイン)が示す曲がり方とよく似ているのです。

サインカーブ
 ※この図は-180度から180度までのコサインの数値をそのままグラフにしたものです。

 ※今回はコサインカーブを使いましたが、サインとコサインは波の頂点が180度分違うだけの
  同じ波になるので、北半球ではコサイン、南半球ではサインの曲がり方が東西方向によく似ている
  ことになります。


 おそらくこれには何らかの必然があるはずなのですが、残念ながら数学が苦手な私には、
 この関係を証明する方法がなかったわけです。
 そして、これこそが私をノイローゼにした原因でもあります。

 推測ではありますが、例の「メルカトル図法の数学的な説得力」の意味が分かれば、
 答えが出るのだとは思いますが、いまだに良く解りません。
 申し訳ございませんが、この件に関してはもう少しだけお待ちください。


 ついでと言ってはなんですが、サインについて少し学んだことで、
 メルカトル図法でも、正距方位図法でもうまく描くことのできなかった
 面積を正しく描くことのできる地図について、理解することができました。

サンソン図法

 これをサンソン図法といいまして、形はゆがむものの、面積的には正しい地図になっています。
 この地図はメルカトル図法の嘘であった、
  ・「高緯度でも緯線の長さが同じ」
  ・「経線がどこまでも平行」
 という問題を解決できていますね。
 ただ欠点は、赤道からも図の中央にある縦線(経線)からも離れた地域は、かなりぐにゃりと曲がっています。

 原因は簡単でして、縦線(経線)にサインが示す曲がり方(サインカーブ)を採用しているからです。
 図の中央の縦線は直線なのですが、離れる程サインカーブがきつくなっていくため、形がゆがんでしまいます。
 ただ、曲線を使うことで北極と南極で縦線が集まるというアイディアはいいですね。


 つづいてもうひとつ、サンソン図法の双子の兄弟ともいえるのが、次のモルワイデ図法です。
 この地図も面積を正しく表すことのできる地図なのですが、やっぱり形がゆがんでいますね。

モルワイデ図法

 ちなみにこれはサインカーブではなく、経線に楕円の曲線を採用しています。
 最初はサインカーブと楕円曲線の違いが良く解らなかったのですが、
 ようするに楕円というものは、中心となる点が2こある円のことです。

楕円

 このように、楕円の円周上から、2つの中心点までの長さの合計が一定の円のことを楕円と呼ぶわけです。
 この地図でもメルカトル図法の欠点をだいぶ克服できていまして、
 海を含んだ地球全体の面積を正しく表そうとした場合、この地図がよく使われるそうです。
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睡眠導入ブログ

 この前先生が買ってきた図解雑学シリーズのヒッグス粒子編を読み終わりました。
 難しい本を読むと眠くなると言いますが、何度も睡魔に襲われました。
 そしてやはり思うことは、こっちの世界の科学者さんはすごいと言うことです。
 物事への追及度が留まるところを知りません。

 おそらくこちらの物理学者さんたちは、
 この宇宙のすべてを知り尽くさなければ気が済まないのでしょう。

 私の居た世界でも基本的な部分はそれなりに研究されていましたが、
 それでも目に見える物の日常的な動きを把握するので精一杯だったと思います。

 科学技術が発展していなかったということもありますが、
 その目に見えない物の動きを研究したところで、どうやってご飯を食べていくの?
 というのが両世界の決定的な違いなのかもしれませんね。
 なんだかんだで、「だいたい全部神様のせい」で済んでしまいますし…。


 この本を読んで面白いなと思ったのは、「ゲージ対称性」という考え方です。
 ざっくりと説明されて理解したことを、ざっくりと説明するので間違っているかもしれません。
 詳しくは専門書を読んでいただきたいのですが、
 面白かったので頑張って説明してみます。

 
 今私たちが見ている物は、しっかりとした形があります。
 でも、それらはどんどん細かくすることができるわけです。
 どんどん、どんどん、細かくすればするほど、「対称性が高い」と言われるそうです。

対称性

 グラスのほうがちょっと回転させても形が同じなので、対称性が高そうに見えるのですが、
 逆さまにした時は、対称になりません。
 そう考えると、粉々になったガラスのほうが、上下左右どんな方向に動かしても、
 部分的になら対称になる確率が高いので、対称性が高いと考えるそうです。

 そして、粉々になったガラスは、グラスを構成することもあれば、
 もしかしたら窓ガラスになるかもしれないわけです。


 要するに、昔はバラバラでものすごく小さな粒だったけれども、
 時間の経過とともに集まって固まって、今は違うものを構成している。
 逆に考えれば、今は違うものを構成しているものも、昔はバラバラで(対称性が高くて)、
 ものすごく小さな粒だったと言えるのです。

 どうやらこれは、力を含む、この世のすべての物にも適応されるらしく、
 宇宙が生まれるくらいの大昔は対称性が高くて、同じものだったのに、
 今は対称性が勝手に低くなっちゃって全然違うよね。

 というのが「ゲージ対称性」という考え方だそうです。
 なるほどわからん。
 
 
 さて、自称、眠くなるブログ、Geographico!
 たまにはこんな話もしてみましたが、地球観察には過ぎたテーマでしたね。
 数学の話をしたり、物理の話をしたり、寄り道が絶えません。
 
 ひとまず、昨日の続きを少しだけ話して今日は終わりにしましょう。
 昨日のサンソン図法と、モルワイデ図法を合体させることで、
 新しい地図をつくろうとしたのが、ホモロサイン図法(グード図法)です。

ホモロサイン図法

 見てもらえばわかるのですが、ひたすら変な形をしていますね。
 高緯度が変になるサンソン図法と、低緯度がちょっとうまく書けないモルワイデ図法の
 いいところを合わせようとした結果がこれです。

 形は変なのですが、地球上の陸地の面積を正確に描くことができるうえに、
 比較的地図のゆがみも少ないという優れものです。

 ただ、残念なことに陸地をきれいに描こうとした結果、
 海がちぎられてしまっているので、海上交通には使えない地図になってしまいました。

テーマ : 宇宙・科学・技術
ジャンル : 学問・文化・芸術

面積が正しいってどういうこと?

 寿限無、寿限無、五劫の擦り切れ、海砂利水魚の水行末、雲来末、風来末、
 食う寝る所に住む所、やぶら小路のぶらこうじ、
 パイポパイポ、パイポのシューリンガン、シューリンガンのグーリンダイ、
 グーリンダイのポンポコピーのポンポコナーの長久命の長助。

 ちょいとお時間頂きたいのですが、落語という日本の古典芸能に興味があります。
 興味があるのですが、今日は少々忙しいので、枕は省略。
 どうもこんばんはライネです。

 それはそれとして、あの曲はおしりふるのが楽しくてしょうがないですね。
 録画した番組を見ながら、1日1度はふりふりしてます。
 気が付くとそれを先生が見ていますが、一緒にふりふりしてくれます。
 黄色がぴょんぴょんするのも好き。


 さて、毎度ばかばかしい話ではありますが、面積が正しいという説明が抜けておりました。
 というより枕に集中しすぎて、本題の話が最近手抜きだったので申し訳ございません。

 面積というものは、平面的な広さのことです。
 あくまでも広さが正しいというだけですので、極端な話をしてしまえば、
 縦×横の合計があってさえいればいいと考えられてしまうわけですね。


 ようするに、面積が4平方メートルの土地があったとしましょう。
 本来ならば4平方メートルの土地と言っても、形が決まっているのですが、
 「面積が正しい地図」といった場合、2m×2mでも、1m×4mでも良い。
 とされてしまうのです。
 
正積

 そのため、必ずしも形が正しいというわけではなくなってしまいます。
 たとえば、サンソン図法では高緯度地域、モルワイデ図法では低緯度地域で、
 この問題がより強く生じてしまいます。

 ただ、どんな地図でも面積が正しいということ自体には違いありません。
 使い方次第ではメルカトル図法より便利ということもできます。

面積の比較

 面積を正しく描こうとしても、地球全体の形まで正しく描くことはできません。
 やはり、3次元である地球を2次元である紙の上に表現することに無理があるので、
 どんな地図を作ろうとしても欠点が生じてしまうのです。

 そういう意味ではホモロサイン図法は限りなく形も面積も正しいのですが、
 海が千切れるという致命的な欠点があります。

 そんな中、逆転の発想をしている地図があるのです。 
 地球全体を上手い具合に形も面積も正しく描くなんて、最初から無理なんだから、 
 だったら一部だけでも上手く描けばいいじゃない。
 そんな地図がボンヌ図法です。

ボンヌ図法

 まあ、実際にそんなコンセプトを持って作られたかどうかはわかりませんが、
 地図の中央部だけを見ようとすれば、なかなか形も整っているし、
 面積も正しい地図ですね。

 もっともっと、狭い範囲に限定してしまえば、どんな地図でも、
 距離・方位・角度・面積が全部正しい(というより誤差範囲に収まってしまう)
 地図になるのですが…。


 それにしてもボンヌ図法は地図の形が面白いですね。
 お後がよろしいようで。 

正しい地図まとめ

 どうもこんにちはライネです。
 明日は前々から行きたかった国立科学博物館に行ってきます!
 今からものすごく楽しみです。

 真珠の耳飾りの少女さんに会ったとき以来の上野です。
 家からは電車で1時間もかからない距離なので、好きなだけ行けると思うのですが、
 先生は秋葉原と上野だけは渋って、なかなか連れて行ってくれません。
 一人で行けるようにならないとなぁ…

 先生がそんな上野に行くのは理由があって、明日は大学時代の友人と会うそうなのです。
 せっかく古い友達を会うのだから、私がいたら邪魔だろうと思ったのですが、
 ある意味私のためにもなるそうなので、遠慮なくお邪魔させていただく予定です。

 というのも地球観察度でいえば、私より格段に上の専門家だそうで、
 そちらも楽しみで、早く明日が来ないかとわくわくしております。


 で、残念なことに、恐らくこのままでは明日の日記を書くことができません。
 ここまで毎日、いろいろと書いてきたので1日とはいえ、あまり休みたくないので、
 今日のうちに記事を書き溜めるという作戦を取ることにしました。

 そんなわけで今日の日記は2本立てです。
 明日分の日記は、明日上野に出発する前にアップさせていただきます。
 したがって博物館の報告は明後日以降になります。



 この二日分の日記は、これまで色々と説明してきた地図の総まとめです。
 そんなわけで、とりあえず第一弾の今日は地図の種類をまとめます。


  角度の正しい地図(正角図)
 『メルカトル図法』
メルカトル
  特徴
   ・一番よく見る世界地図。
   ・縦線と横線がどこでも直角に交わっている。
     ⇒本来ならば1点にあつまる縦線が平行(地図の上が全部北)
     ⇒本来ならば短くなるべき高緯度の横線が長い
      …高緯度になるほど実物よりも大きく描かれている。
   ・地図が四角い。
  利点
   ・2点間の直線は、どこでも縦線との角度が等しい等角航路となる。
   ・目印のない海などを航海する場合でも、北極星を基準に自由に航海ができる。
  欠点
   ・高緯度になるほど実物よりも大きく描かれる。
     ⇒密度を知るには使えない。
   ・最短距離や東西方向が直線で表現できない。


  距離(と方位)の正しい地図(正距図)・(正方位図)
 『正距方位図法』
正距方位図法
  特徴
   ・地図が丸い。
   ・いろいろな意味でメルカトル図法とは全く違う。
     ⇒メルカトル図法を見慣れていると見づらく感じる。
  利点
   ・図の中心からの場合に限り、好きな場所までの最短距離と方位が直線で表現できる。
    (大圏航路が直線で描ける)
   ・実際に最短距離が直線で表現できても、山や海があるためそのまま移動することは
    難しいけれど、障害物を無視できる交通手段(飛行機など)では便利。
  欠点
   ・地図の中心から離れる程、形も面積もいびつになって見づらい。
   ・図の中心からしか利点が活かせないので、1枚だけではほとんど意味がない。


  面積の正しい地図(正積図)
 『サンソン図法』
サンソン図法
  特徴
   ・地図がひし形(サインカーブ)
     ⇒緯度にあわせて、横線の半径がサインで決まる(図参照)。  
      ということは横線の長さがサイン決まる。
      ということは縦線がサインになる。

緯度とサイン

  利点
   ・どこでも面積が正しいので、密度を比較しやすい。
   ・特にゆるやかなカーブを描く低緯度側は形も見やすい。
  欠点
   ・サインカーブで面積を正しく描いているので高緯度ほど形が窮屈になる。


 『モルワイデ図法』
モルワイデ図法
  特徴
   ・地図が楕円
     ⇒サンソン図法だと高緯度の形が窮屈だったので、楕円にしてみた。
      それでも面積を正しくするために、緯線の間隔そのものをいじった。
正積
  利点
   ・どこでも面積が正しいので、密度を比較しやすい。
   ・全体的に形が見やすくなった。
  欠点
   ・見やすくなったものの、緯線の間隔をいじったら低緯度側がちょっと見づらくなった。


 『ホモロサイン図法』
ホモロサイン図法
  特徴
   ・地図がすごい形
     ⇒サンソン図法の高緯度側とモルワイデ図法の低緯度側を無理やりくっつけた。
  利点
   ・どこでも面積が正しいので、密度を比較しやすい。
   ・陸上だけを見れば形も面積もとても良く描くことができている。
  欠点
   ・無理やりくっつけた結果、海が千切れた。
     ⇒航海などでは使えない子扱いされている。


 『ボンヌ図法』
ボンヌ
  特徴
   ・地図がいろいろな形になる(有名なのはハートマーク)
   ・実はサンソン図法はこの図法の赤道中心バージョン。
  利点
   ・どこでも面積が正しいので、密度を比較しやすい。
   ・図の中央部だけ切り取って使えば、文句の付けようがない正積図。
  欠点
   ・全体でみると残念なくらい形がいびつ。
   ・全体でみると、いろんな意味で中途半端。

完璧な地図

 どの地図も一長一短で、この世に完璧な地図などない。

 本当にこの結論でよいのでしょうか。
 考えようによっては3つあるとおもいます。


 地球儀
 3次元を2次元に変換するから色々な欠点が生ずるわけで、だったらそのままでいいじゃない。
 という、完璧な地図。

 要するに模型などと同じ考え方です。
 こちらの世界の技術力ならば、細部まで精巧な地球の模型を作ることができるでしょう。
 先生の家にも結構大きな地球儀があるのですが、地球儀にはさらなる利点があります。
 ぐるぐる楽しい!!

 実は地球儀というものは、こちらに来て初めて目にしたものでした。
 あちらの世界でも、世界が球体であることや、地球の大きさに関しては大体解っていたので、
 作れないことは無かったと思います。

 ただ、計算上の地球の大きさに照らし合わせると、既知の世界があまりにも小さいため、
 おそらく模型を作るという発想にまで至らなかったのでしょう。
 仮に地球をつくっても、球面の1/5程しか描かれていない地図はあまり役に立ちそうがありません。


 そんな地球儀ですが、いくつか欠点もあります。
 完璧な地図なので、それは「地球を正しく描写できない」という類の問題ではありません。
 ある意味ではそれ以上の欠点かもしれませんが…。

 ①詳しく描こうとすると巨大になる。
  先生の家にある地球儀は結構大きいもので、直径が先生(成人男性)の肩幅くらいあります。
  これ以上大きいとドアを通れなくなる大きさです。
  それでも、この家はこの辺かなと指さしただけで、関東全域が覆われてしまいます。

  興味があったので調べてみたのですが、最大級サイズの地球儀でも、直径5m程だそうです。
  それでも、埼玉の半分くらいが東京を示す点に隠れてしまいます。
  もっと詳しく見ようと思うと、恐らく直径100mくらいの巨大な地球儀が必要になるでしょう。


 ②持ち運びが大変。
  すでに、先生の家にある地球儀は持ち運べるギリギリのサイズだと思います。
  たとえもっと小さい地球儀でも、鞄に入れたら相当邪魔ですね。
  あと外出先でそんな小さな地球儀を見なくてはいけないという状況が分かりません。


 ③特定地域のみを描くことができない。
  絶対無理という訳ではありませんが、全体を描く気がなくても、球の一部になってしまいます。
  丸みが気にならないくらいまで拡大すれば、狭い範囲を描くことも出来ます。
  そうすれば折りたたんで鞄にしまうこともできます。
  でも、それは地球儀ではないですね。


 ④同時に全世界を見渡すことができない。
  ぐるぐるする必要があるのは、自分の目が太陽になったからです。
  自分に見えていない地球の裏側は、いわば夜です。
  地球全体が同時に太陽に照らされることは絶対にないので、
  地球儀でも同様に同時に世界全体を見渡すことはできません。


 狭い範囲を描く地図
 世界地図のように、地球全体を同時に描こうとすると、どうしても無理が生じてしまいます。
 だったら、狭い範囲を描いてしまえばいいわけです。

 私たちの普段の生活では、あまり地球を球体だと考えていません。
 それくらいの範囲で描く地図は、よっぽどのことがない限り、
 正角距方位積(角度も距離も方位も面積も、ついでに形も正しい)図になります。
 というより、私たちが認識できる程の誤差がない地図ができるのです。

 これは私も愛用していますが、便利ですね。
 持ち運びもしやすいですし、色々な種類があります。
 こんなに詳細で使い勝手の良い地図が、なんと誰でも本屋さんで買うことができます。
 
 私の世界では、世界地図は結構簡単に見ることができたのですが、
 ここまで詳細で、正確な地図はありませんでした。
 たぶん作ろうと思えば作れるし、あるところにはあると思うのですが、
 そんな情報が敵に知られたら、どこが弱いかすぐにわかってしまいます。
 とりあえず私なら、発電所を攻めますね。

 これは平和な世界でしかできないことだとおもいます。
 ところがそんな地図でも、それを何百枚も集めて地球全体を見ようとするといろいろと欠点が出てきます。 

 ①1枚1枚のほんの小さな誤差が積み重なって、大きな誤差になる。
  どんなにきれいに張り合わせても、日本全体が完成する頃には、どこかにゆがみが生じます。


 ②詳しい地図程、張り合わせたら巨大になる。
  たとえば、縮尺が1万分の1の地図があったとしましょう。
  これを張り合わせて世界地図を作った場合、地球の1万分の1サイズになります。

  地球の表面積が509,949,000平方キロメートルですので、
  1万分の1サイズにすると、大体2.26㎞四方になります。
  ちょっと見てみたい気もしますが、相当な大きさですね。


 コンピューター上で見る地図
 これはなかなかのものですよ。
 コンピューターが使える状況に限られますが、欠点らしい欠点がありません。
 強いて言えば、やっぱり3次元の地球を2次元でとらえることに無理があるということくらいです。
 やろうと思えば、これまでの地図のすべての利点だけを抽出するようなものも作れます。
 
 たとえば、正距方位図法は中心からしか、使えない地図でしたが、
 中心を動かせば、即座に画像が変わる地図なんていうものも作れます。
 ボタンを押せば、正積図や正角図などに切り替えることもできるでしょう。

 コンピューター上でちょっと操作すれば距離や面積を図ることもできるかもしれません。
 とりあえず有名なのは、私も使っている、どんな大きさにもかえることができる地球儀ですね。
  ⇒googleEARTH 

 これは、さらに道路を実際に走った様子まで見ることができるという優れものです。
 これまでの1枚の紙地図では不可能だった、様々なことが簡単にできるという点では、
 最強の地図かもしれません。

 紙の地図は描くための理論が完成して、形になってしまった時点で、
 ほとんど進化しなくなってしまいますが、コンピューターを使った地図ならば、
 ソフトとハードが進化するごとに、もっともっと便利な地図ができるかもしれません。

 たとえば、iPadのような持ち運びしやすいコンピューターなんかとは相性も抜群ですし、
 誰もが持っている携帯電話の性能が向上するごとに、どんどん進化していきます。
 技術の発達したこの世界でしか使えないわけですが、これほど完璧に近い地図は他にないでしょう。
プロフィール

ライネ

Author:ライネ
ライネと申します。
先生の家に居候するラザフォード人です。
現在この世界のことを勉強中。
リンクとかもろもろ含めて商業的利用以外ならご自由にどうぞ。面白そうな企画には飛び乗ります。

合言葉は「真面目な事を不真面目に!」
記事の真偽は自己責任でお願いします。

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