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数学に挑戦①

 こんばんは、ライネです。
 いきなりですが、昨日から頭がフル回転状態でして、
 あれやこれやと色々なことが思い浮かんでいます。
 こうなると反動でたぶん明日はずっと寝ている気がします。

 特に現在の所、ブログのネタには困っていないのですが、
 この思いついたことをできるだけ噛み砕いて解説していこうと思います。


 そういうわけで、今日は数学のお話です。
 地球観察ブログと言っておきながら数学とはどういうことだと思う人もいるでしょう。

 数学というものは物事を理解するためには大変有用な道具です。
 そのため、私が知りたいことを知るために、数学が必要になってきます。
 地球観察のために、数学はどうしても避けて通れない道なのです。
 数学が苦手だという皆様もご安心ください!

 
 私はもっと苦手です!!


 そもそも、どちらの世界でも数学と物理学は共通ですが、
 あちらの世界の最先端の数学も、こちらの世界ではまだまだ初歩レベルだと思います。
 しかも、その初歩レベルなものですら私は苦手なわけです。

 だからこそ必要なところを、私が納得できるレベルでかいつまんで説明させていただきます。
 私と同じように、数学が苦手な皆さんもこの機会に少しだけ触れてみてください。

 そして、数学が得意だと言う皆様は、どうか優しく見守ってください。
 何分、思いだしながら&付け焼刃な知識なもので、間違っているところがあるかもしれませんが、
 その時は遠慮なく指摘していただければ幸いです。



 さて、本日の主役は平面上の三角形さんです。
 いきなりですが、こちらの世界には、平面上ではない三角形さんに関する分野もあるそうです。

 確かに、私たちが生活している世界は球面上なので、むしろ平面上の世界の方が特殊なのですが、
 地球という球面を実感しながら生活しているわけではありません。
 そういうこともありまして、私が教えられた三角形さんは全て平面上にありました。

 なお、こちらの世界では平面上の図形に関して研究する分野を「ユークリッド幾何学」、
 平面上ではない図形に関して研究する分野を「非ユークリッド幾何学」と言うそうです。
 というわけで、以下の話は全て「ユークリッド幾何学」で進みます。
 改めて述べない場合は全て、「平面上の」という言葉が付いているものとしてご理解ください。

三角形
 
 三角形さんは、かなり一般的な図形なのですが、少し変わった特性があります。
 あちらの世界の言い方を使うと、どんな三角形さんでも全ての角を合わせると直線になるのです。
 こちらの世界の言い方では「内角の和は180度になる」というやつです。

内角の和


 お気づきとは思いますが、このような性質などもあって、三角形さんは数学を勉強する上で
 大変役に立つ図形ということで、あちらの世界では初等教育でも大活躍しておりました。
 そういうこともありまして、あちらの世界流に三角形さんと敬称込みで呼んでおります。

 さて、どんな三角形さんでも内角の和は180度になるということは、
 三角形さんの3つの角のうち、2つが解ると残りの1つの角度も解ってしまいます。
 
二角相当

 色々調べた結果、こちらでも「相似」という数学的な言い方がありました。
 大きさは異なるかもしれないけれど、同じ形をの図を「相似」と言うそうです。
 「相似」で言えば、三角形さんの「二角相等」というものが私の説明している話になります。

 このほかに「相似」になる条件には「三辺比相等」や「二辺比夾角相等」などもあるそうです。

相似

 さて、三角形さんには、1つの角度が直角(90度)である、「直角三角形」さんや、
 全ての角の大きさ(辺の長さも)が等しい「正三角形」さん、
 2つの角度(2辺の長さも)が等しい「二等辺三角形」さんなどの仲間がいます。

3つの三角形

 そして今日の主役は「直角三角形」さんです。
 直角三角形さんは、最初から1つの角度が90度なので、残りの2つの角度は、
 かなり限定されてしまいます。

直角三角形

 ちなみに限定されると言えば、正三角形さんは、このほかの形がありません。
 正三角形さんは、それを名乗るすべてが相似なのです。
 角度は全て180÷3で、60度になります。

 さて限定される直角三角形さんのもうひとつの角aをたとえば、30度にしてみましょう。
 すると、残った角bは60度になりますね。
 
 これと同じものを下にぴったりくっつけると、次のような図が出来上がります。
 おお、正三角形さんの出来上がり。

30度

 さてここからがポイントなのですが、
 Aの三角形さんは、「ななめの所が1、縦のところが0.5」という関係になっています。
 こうなってくると、?のところが知りたいですね。 


 これは「三平方の定理」というものを使うことで解ります。
 面白いことに、この理論は、両方の世界共通で、正方形(直角二等辺三角形さんが2つ)のタイルを
 ずっと見ていたおじさんが発見しました。

 簡単にまとめると、次のような結果になります。

三角比

 これをこちらのやり方で解くと、「? = √0.75」になるわけです。
 ちなみに電卓を使って調べると、「√0.75」は、0.86603だそうです。

 同じやり方で、角aが60度、45度の場合を調べると、このようになります。

60s.jpg

45.jpg

 いろいろな直角三角形さんの辺の比を見てきたわけですが、
 このほかにも、角aが1~89の場合までやろうと思えば、計算することができるわけです。
 でも、とてつもなく大変なのと、これ以外のやり方は納得できるように説明できないので省略。
 
 さて、「相似」というものは、「大きさは違うかもしれないけれど同じ形」でした。
 つまり、このように角度と辺の比さえ解ってしまえば、
 遠くにある物の高さを計測することが簡単にできるわけです。

結論

 もうちょっとだけ続きます。
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

数学に挑戦②~淡々タンジェント~

 数学者のゲオルグ・カントールさんは、答えのない問題に精神を病んで死んでしまったそうです。
 実際、どちらの世界でも数学を研究する人には、おかしくなってしまう人がいるようです。
 さすがにそこまでの心境ではないのですが、おとといから頭の回転が異常に早くなってしまい、
 そこで得た新しい発想を、今の自分の教養では納得しきれないという困った状況になっています。
 こんばんは、ライネです。

 とはいえ、以前もあったことなので、ご心配なく。
 あちらの世界では、こういう状況になった時のために、一時的に頭を悪くするというか、
 へべれけになれる薬があったのですが、こちらの世界ではそういったものは御法度だそうです。
 先生に相談したのですが、「ダメ絶対!」と言われてしまいました。

 まあ、放っておいてもそのうち低回転期に入って落ち着くと思うのですが、
 代わりに違うことに頭を使うか、頭に行っている栄養素や酸素を他に回すといいとアドバイスを頂き、
 どういう理屈か最初は解らなかったのですが、iPodを貸してくれました。
 
 でも確かに、そういう時は歌うと楽になりますね。
 ついでに今度カラオケに連れて行ってもらえることになりまして、非常に楽しみです。
 先生のiPodの中で気に入ったのは、以下。
 くれぐれも、まともな精神状態でなかったことをお忘れなく。


 ・「キングゲイナー オーバー!」
  キング・キング・キングゲイナーという生バックコーラスがあったら、相当気持ちいいと思います。
  先生よろしくお願いします。  
  アニメを見ていないので、時間に余裕がある時にでもゆっくり見たいと思います。

 ・「POPEE the クラウン」
  まだ日本語の意味が解らなかった頃に見て面白かったのが、「ポピーザぱフォーマー」です。
  そういう意味で親しみのある曲なのですが、日本語が理解できるようになっても、
  あいかわらず訳が分からないですね!
  大音量で聞いていると、あれこれ考えていることが、だんだんどうでもよくなってきました。

 ・「信濃の国(ユーロビートVer)」
  調べてみたのですが、様々なバージョンがあるらしいので、細かいことは解りませんでした。
  この曲そのものは、長野県の県歌だそうです。
  そんなものを埼玉県民の先生が何故聞いているのかという疑問はあるのですが…。
  ユーロビートとか、トランスとかは、考える余裕がなくなって、こういうときには大変よいですね。
  ビートというのでしょうか、bpmが高い程、考える余裕がなくなってきます。


 ちなみに、「今の私では納得できない新しい発想」に関しては後ほど。
 今日は、昨日の続きです。

 直角三角形さんは、1つの角度が分かれば「相似」を利用して物の大きさを計測できる。
 という所まで説明できました。
 つまり見上げる角度が45度の直角三角形さんが作れる場合、
 「目標の高さ = 目標との距離」 になるというわけです。

高さと距離

 昨日は30度、45度、60度の場合だけだったわけですが、
 「見上げる角度で決定する目標の高さと目標との距離の関係」はこちらでは「タンジェント・シータ」
 という言葉で表現されていて、どんな角度で見上げた場合についても、その関係が算出されています。


 ざっくりと、数学を知らない異世界人の視点で言い換えてしまったのですが、
 「タンジェント」というのは、「目標の高さと目標との距離の関係」の事で、
 「シータ」というのは「見上げる角度」ということです。

 ちなみに「タンジェント」は「tan」、「シータ」は「Θ」という記号で表現されるので、
 正確にはカタカナで表現するのではなく「tanΘ」となります。

 「見上げる角度」である「Θ」は、「好きな角度を入れてね」という意味もあるので、
 例えば「Θ」に「45」を入れると、「tan(目標の高さと目標との距離の関係)」は「1」になります。
 少し整理して図にしてみますと、次のようになります。 

tan.jpg

 今回は解りやすく「1」と言っていますが、正確には「1/1」と表現されまして、
 図で言えば、「辺b-c / 辺a-b =1/1」ということになります。
 ということは、見上げる角度が30度、60度の場合は次のようになります。

tan30と60s


 数字が細かくて、とても覚えきれる数字ではありませんね。
 でも、少し良い電卓(関数電卓)や、Excelなどの表計算ソフトを使えば良いだけなので、
 わざわざ計算したり、暗記したりする必要はありません。

 では、この数字を使って、応用編です。
 直角三角形さんAの?、直角三角形さんBの?を計算してみましょう。

応用

 Aの場合、tan30 = 辺bc(100)/辺ab(?) =0.57735なので、
 計算すると、173.2052くらいになります。
 
 Bの場合、tan60 = 辺bc(?)/辺ab(300) =1.73205なので、
 計算すると、519.615くらいになりますね。

 うん、たぶんあってるはず…。

 ちなみに、tan1~89までの結果は、以下の通りです。

タンジェント表

 まだまだ続くよ!

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数学に挑戦③~咲いたコスモス~

 最近は涼しかったのですが、今日は久しぶりに暑いですね。
 どうやら台風が接近しているようで、不謹慎ですが少し楽しみです。

 こんにちは、ライネです。


 ここ数日は数学の話題が中心なのですが、これを説明しきってしまわないと、
 気持ち的に次の話題に集中できないので、もう少しだけお付き合いください。


 さて、昨日はタンジェントについて考えてみました。
 少なくとも私の中では、タンジェントさえわかれば、かなり応用の幅があると思うのですが、
 こちらの数学では、同時に直角三角形さんの斜めの長さについても注目されているようです。

 基本的にはタンジェントと同じ考え方なので、さくっと説明してしまいましょう。

sinとcos

 「見上げる角度によって変わる」直角三角形さんの「斜めの長さ」と「高さ」の関係を、
 「サイン・シータ」と呼んでいて、記号では「sinΘ」と描きます。
  数式では、sinΘ= 「高さ」 / 「斜めの長さ」と表現します。

 同じ様に、
 「見上げる角度によって変わる」直角三角形さんの「斜めの長さ」と「底辺」の関係を、
 「コサイン・シータ」と呼んでいて、記号では「cosΘ」と描きます。
  数式では、cosΘ= 「底辺」 / 「斜めの長さ」と表現します。


 よって、せっかくなのでタンジェントも混ぜて、Θが45°の場合は、

45度の関数


 Θが30°の場合は、

30度の関数


 Θが60°の場合は、

60度の関数


 と、表現します。
 そして1°から89°までのsinとcosを一覧表にすると、

サイン早見表

コサイン早見表

 と、なるわけです。
 ここまでくれば、もう大丈夫ですね。
 これに関しての詳しい話は明日しましょう。


 ついでに、√0.75の計算がずっと間違っていましたので、訂正いたします。
 今まで、0.86625と書いてきてしまいましたが、正しくは0.86603です。
 計算自体は合っていたのですが、書き写す時に1ケタ間違えておりました。
 今日の時点で過去の記事は修正してありますので、
 過去の記事を参考にされた方はご注意ください。

 なお、私は0以下の5ケタ目までしか数字を記入しておりません。 
 そのため6ケタ目が5以上場合は5ケタ目を1加えております。
 四捨五入というやつですね。
 重ねてご注意お願いします。

テーマ : 数学
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数学の挑戦④(完結編)

 どうもこんばんは、ライネです。
 色々とご心配をかけましたが、疑問その①はなんとか解決しそうです。
 まだに不落ちないところはありますが…。

 こちらの世界の数学はちょっと理解しがたいところがありますね。
 正しいのかもしれないけれど、それを納得できるかというと、
 少なくとも私の頭にはまだできませんでした。


 どういうことかというと、昨日のサイン早見表をご覧ください。
 角度が89までしか書いてませんね。
 これは三角形さんの基本的な決まり事である、「3つの角度を合わせたら直線になる」
 こちらの世界の言い方ならば、内角の和は180度になるという事を守っているからです。

内角の和

 ようするに、直角三角形さんを使っている以上、角aは90度で決定しています。
 ということは角bと角cは足して90度に収まらなければいけないわけで、
 角bをどんなに増やしても89.99999…という数字が上限だと思うからなわけです。

89が限界

 ところが何の気なしにExcelで一覧表をつくっていたら、サイン90=1という答えがでたのです。
 これに関しては、なるほどそういうことかと、納得出来ます。
 もうこれを三角形さんと呼んでいいものかわかりませんが…

90Θ

 ところが、何の気なしにサイン91度の場合も計算できたのです。
 それどころか、サイン180、サイン270、サイン360、サイン450にも答えが出てしまいます。
 サイン450度のように、角度が360度を超えるということは、元に戻るというのはなんとなくわかりますが、
 そんな数字、必要ないですよね? 


 そして、内角の和が180度を超える三角形、これはもはや私の知っている三角形さんではありません。
 想像することもできません。
 ここで非常に初歩的なレベルではありますが、カントールさんと同じような状況になりかけたわけです。

 ところが調べてみると、三角形さんをつかわないでサインを計算する方法がいろいろあるようなのです。
 一応、理解したものの、やっぱり腑に落ちません。
 少なくともこのブログは、私の理解できる内容を、私に説明できるやり方で書いていくということが
 前提条件なので、大変申し訳ありませんが、これ以上の話は他で調べてみてください。
 

 でも、サインって三角形さんの辺の長さを求めるためのものなんですよね? 
 存在しない三角形さんのことを考えても、どうするのでしょうか?
 
 と、ここまで考えた結果、至った結論が、
 もしかして、90以上のサインは、別の事に使うのかもしれない。
 ということです。
 そうなってくるともうお手上げですね。
 

 というわけで、サイン・コサイン・タンジェントの理屈そのものに関してはこれにて終了です。
 では次に、これらの数字の特徴に関して、簡単に見ていきましょう。

サイン
コサイン
タンジェント

 これらの図は、Excelでサイン・コサイン・タンジェントを表にしたものです。
 サインとコサインは薄々感づいていましたが、逆向きになっているだけですね。
 これは、私でも説明できます。

サインとコサインs





 ちなみに、タンジェントのグラフをどこかで見た気がしたのですが、

Ro

 これでした。
 長々と数学の話をしてきましたが、これにて終了です!
 次回は、なぜこのような話をしたかという事をご説明いたします。

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右手と左手の座標

 どうもこんばんはライネです。
 ハイサーグラフの作り方を説明しようとして、言葉に詰まってしまったので、
 今日は寄り道をしようと思います。


 実は測量の話をした時に、少し触れていたのですが、ハイサーグラフを作るにあたって、
 引っかかるところがありました。

XとY

 この図のピンクの方向と緑の方向をなんて呼ぶのが正解なのでしょうか?
 エクセルではピンクを「X軸」、緑を「Y軸」と呼ぶそうです。

 けれども、私が調べた測量の話ではこれが逆でした。
 ちょっと調べてみると、エクセルのような数学分野を中心に一般的には「右手系」と呼ばれる、
 この図のような座標が使われるのだそうです。 


 ただし測量など地球の位置を示すような場合ではXとYが逆になり、「左手系」と呼ばれる
 次のような座標が使われるそうです。
 いわば、緯度がX、経度がYというわけですね。

左手系


 でも、これだと、違いが判らないと思います。
 例えば、片方を傾けて見たとき、「縦方向がX」、「横方向がY」というだけだと
 同じになってしまいます。

縦と横の不思議

 そこで、右手と左手という言葉がでてくる訳です。
 この図を見ながら、ピンクの方向に親指を、緑の方向に人差し指を伸ばしてみてください。

 すると、親指と人差し指の付け根から見て、確かにエクセルの表は右手、
 地図は左手と同じ方向に矢印が向いていることが解ります。
 矢印の方向(指が示す向き)というのは、プラスの方向だったわけですね。


 ちなみに、この手のまま、中指も伸ばしてみてください。
 これがZ軸と呼ばれる方向で、高さを示します。
プロフィール

ライネ

Author:ライネ
ライネと申します。
先生の家に居候するラザフォード人です。
現在この世界のことを勉強中。
リンクとかもろもろ含めて商業的利用以外ならご自由にどうぞ。面白そうな企画には飛び乗ります。

合言葉は「真面目な事を不真面目に!」
記事の真偽は自己責任でお願いします。

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