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地形図を買いに行こう!

 先生が今日はサッカーを見なくちゃいけないと朝からうるさかったので、
 ついつい一緒になってみてしまいました。
 わあい、勝ったー

 そして今月の100分で名著は相対性理論ですよっと。
 どうもこんばんは、ライネです。

 相対性理論にはあまり詳しくありませんが、
 当初は世界で3人にしかわからない理論と言われたそうですね。

 ただ、物理学の本を読んでいて、数式的な理解はできませんでしたが、
 言わんとしていることはそれほど難しくないと思いました。

 この番組の先生も、高校の数学(特にピタゴラスの定理)が理解できれば、
 誰にでも理解できるくらい簡単だとおっしゃっています。
  ※ピタゴラスの定理についてはこのブログでも説明済みです。
   詳しくは9月27日からの「数学に挑戦シリーズ」をご覧ください。


 これは実はよくある話なのだと思います。
 難しいと最初から決めつけて理解しようとする気すらおこさない。
 全てが完璧に理解できなくても、大枠ならそれほど難しくないのに聞く耳を持たない。

 あちらの世界では、大人になるほど知識を必要かそうでないかで二分してしまい、
 理解できるかできないかではなく、必要でないものは最初からわからないと決めつける。
 そういう人が少なくありませんでした。 

 新しいことを知ることは、もっと楽しいことだと思うのですけれどね…



 さて、今日は書店で出会った面白い地図のお話です。

 うん。
 少なくとも私にとっては面白いものでした。

 こちらの世界に来てから、書店は5つくらい馴染みのお店が出来たのですが、
 ほとんどの店舗で地図が取り扱われています。


 インターネットがとても便利なので、地図はいつもインターネットで見ていたのですが、
 先生に薦められて「地形図」というものを買って見ました。

地形図
 ↑先生の家は映っていないのですが、身近なところが移っているのを何枚か購入しました。

 さすがにこれはどんな店舗でも取り扱っているわけではなく、
 少し大きめの書店でしか売っていないようでしたが、
 これはすごいものですよ!

 日本全国を同じ描き方で緻密に表現しています。
 しかもそんなものを、身分証の提示もなく270円~450円で購入できます。

 私の感覚では、普通はこれだけ詳しい地図だと、
 国が発行する取扱い資格がないと手に入れることもできません。
 それが少し大きめの本屋さんに行くだけで誰でも簡単に手に入るなんて…
 ちょっと感動のあまり、くらっとしました。

 実は地形図は他の地図と違って、少し扱いづらい物の様です。
 確かにいろいろな記号がつかわれていて、道路だけの地図に比べると見づらいですね。
 
 という訳で、これからしばらくは、この地形図の見方について勉強していきたいと思います。
 皆さまも自分の家の近くの地形図を1枚購入してみてはいかがでしょうか?
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地形図の大きさ

 どうもこんばんは、ライネです。
 昨日買ってきた地形図を先生に見せたら、入門者は2.5万分の1とバッサリ切られました。
 1万分の1じゃだめなの?
 ということで、今日は地形図の種類について調べてみました。


 現在日本国内で発行されている地形図は、1万分の1、2.5万分の1、5万分の1の3種類です。
 描かれている物は基本的に同じなのですが、倍率(地図では縮尺というらしい)が違います。

 用途に合わせて、狭い範囲を詳しく見ようと思えば1万分の1、
 広い範囲を大雑把に見ようとしたときは5万分の1を使うのが良いそうです。
 

 描かれている紙の大きさは1万分の1の地形図が他の物よりも少し大きめである以外は、
 ほとんど同じなのですが、縮尺が違うということは、描かれている範囲がそれぞれ異なります。

 具体的には、縦方向の長さ(緯度差=経線の長さ)と、
 横方向の長さ(経度差=緯線の長さ)がそれぞれ次のように決まっているそうです。

 1万分の1の地形図 :緯度差2分30秒、経度差3分45秒の範囲。
 2.5万分の1の地形図:緯度差5分、経度差7分30秒の範囲。
 5万分の1の地形図 :緯度差10分、経度差15分の範囲。
  ※図によってやや例外はある。


 縦方向の長さ(緯度差=経線の長さ)に関しては、地球は直径4万kmのほとんど球に近い回転楕円体なので、
 1分の長さは大体どこでも1.85kmになります。
 
緯度差のしくみ
計算式(緯度差)

 ということは1万分の1の地形図では4.625km、2.5万分の1の地形図では9.25km、
 5万分の1の地形図では18.5kmですね。

 ただ、完全な球ではないので若干の誤差が生じます。
 正確な計算式は次のようになるそうです。

経線の長さ式

Wikipedia「緯度」より、「緯度1秒の長さ



 問題は横方向の長さ(経度差)ですね。
 こちらは緯度によって変化していきます。
 緯度0度(赤道)では4万km、緯度90度(極)では0kmです。

 これを計算するには三角関数を使う必要があります。
 まさかの二日連続で登場です。
 あの時は偶然思いついただけだったのですが、これほど便利なものだとは思いませんでした。

 実は、このブログには書かなかったのですが、友達から「単位円」という考え方を教えてもらいまして、
 これを応用すれば計算できそうです。

経度差のしくみ
 
 要するに4万km斜面で、コサインを出せばいいわけです。
 数式はこんな感じ。
 
計算式(経度差)


 具体的にまとめてみるとこんな感じです。

経度の長さ



 実際は、こちらも回転楕円体の影響があるので、正確な計算式は次のようになっているそうです。

緯線の長さ式

Wikipedia「経度」より、「経度1秒の緯線の長さ

 
 3種類の縮尺で描かれる範囲を一覧表にしてみるとこんな感じになります。

まとめ



 実はこの面積は大雑把なものです。
 実際には横方向の長さは、地図の上と下で縦方向の長さの分だけ計算しなくてはいけない緯度が違うので、
 北半球に位置する日本の場合は、上が短い台形になっています。

正しい面積

テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

地図を作る人ってどんな人?

 こんばんはライネです。
 今日はエヴァンゲリオンですね!

 先生はエヴァンゲリオンが放送していた時期小学6年生だったそうです。
 世代的にはシンジ君が少しお兄さんくらいだったのに、気が付いたらミサトさんと同じ年だそうで、
 「若気の至りを通り越した懐かしさがある」と、今日は早々に帰ってきました。

 私も先生のコレクションとして、夏前にテレビ版を観賞したのですが、
 こんなのを当時の小学生が本当に理解して見ていたのかというくらい、小難しい話でした。

 小難しさのほとんどは物語の裏設定に当たるもので、もしくは隠し味のようなもので、
 それを知らなくても楽しめるのですが、一応の答えが用意されているわけです。

 これだけを指して小難しいと言うのなら、それもそうなのですが、
 問題はそんなことよりも、言葉として説明されない、大人になることでしか理解できない、
 そんなやりとりが随所にちりばめられているような気がするのです。

 そういった意味で、当時小学生だった先生が本当にこれを理解して、面白いと感じていたのなら、
 こちらの世界の子供は恐るべしです。
 そんな先生は既にテレビの前で座して待っています。

 私も見たいので9時までに書ききってしまわねば!
 こんばんはライネです。


 さて地形図ですが、今日はこんなものをどこのだれが作ったのかという話です。
 それは大雑把にいえば国ですし、意地悪く言えば人ですが、書籍にあるままに答えれば、
 「国土交通省の国土地理院」という所でつくられているそうです。

 日本の方に今更、国家中枢のしくみを説明する必要もないと思うのですが、
 私の備忘録だと思ってお付き合いください。



 まずは、国単位の政治を行うところ(行政機関)を「中央省庁」と呼んでいます。
 そのトップが「内閣」で、そこで一番偉い人が「内閣総理大臣」です。
 (独立性があると言う意味では「会計検査院」もトップと言えるかもしれません)

 ちなみに、法律をつくるのはまた別の人達の仕事ですが、この人たちは国民全員で選ぶそうです。
 そして内閣総理大臣は「法律をつくる人達」のつくるグループの中で、
 一番大きなグループのボスが選ばれます。

 というよりも、中央省庁という機関はトップが空席のまま動いていて、
「国民全員で選んだ人」が選んだ人が、中央省庁のトップに就任することで、
 中央省庁で働く人たちを動かしていると言ったほうが良いかもしれません。


 で、どうやら今度、選挙で「法律を作る人達」を選びなおすらしいですね。
 ということは自動的に中央省庁のトップも変わっていくことになるわけです。

 ずっと同じ人がトップに居座ると、腐りやすいのはどちらの世界でも同じことなので、
 それは全く問題ないと言うか、むしろ風通しの良いシステムだとは思います。

 異世界人という身分なので、勝手にお世話になっている国の政治に口を出せる立場ではないのですが、
 そんな私から見ても大丈夫なのと心配するほど、カリスマ性に欠けている気がしますね。

 いつか機会があったら、私の国の政治システムの話もしてみたいと思いますが、
 今日は急いでいるのでまた今度!



 さて、そんな中央政府ですが、内閣の下にあるのが内閣府とその他の12省庁です。
 この12この中のひとつが、国土交通省ということになります。

 省庁という言葉は、国土交通省のような省と、それに比べると少し力の弱い庁を合わせた言葉です。
 正確に言うと、府や省の中にある「内部部局(内局)」と呼ばれる集まりと同等の力を持っているけれど、
 少し専門性が高いので、どこの省にも入らないのが庁ということだそうです。

 そうですね、例えるなら机そのものが中央省庁で、引き出しひとつがまるまる府と省です。
 私の場合、引き出しには書類だけの引き出しや、筆記具だけの引き出しなんかで分けています。 

 そして、引き出しの中に小さいかごのようなものを入れて、
 筆記具だけれど黒いペンを入れる場所、赤いペンを入れる場所というように分けています。
 この小さいかごが内部部局ということになりますが、引き出しの外にも小さいかごがありまして、
 そこには書類でも筆記具でもない付箋が入っています。
 これが庁ですね。


 で、国土地理院というのは「特別の機関」という扱いだそうです。
 意味的には、庁に近いけれども、でも省の中に入れておくべきだよねというものです。

 引き出しの例で例えるなら、筆記具に変わりはないんだけれども、
 でもペンという訳でもないし、個別の引き出しを用意するわけにもいかないけれど、
 ちょっと他のものと別にしておいたほうがいいかなというものがこれです。
 定規とかがこれでしょうか?
 

 一応、国土地理院と同格で扱われるのが、防衛省の中にある自衛隊です。
 (正確にはその中の陸上自衛隊、海上自衛隊、航空自衛隊などひとつひとつが同格)
 
 ちなみに中央省庁というのだから、全て国会議事堂周辺にあるのだろうと思っていたのですが、
 国土地理院は茨城県のつくば市にあるそうです。

ガウス・クリューゲル図法

 今日は雨なので力が出ません。
 完全休業状態です。
 
 そういえば皆さんは自転車に乗っていますか?
 免許のいらない乗り物ということで、私も練習しているのですが相当難しいですね。
 たぶん小さい頃から乗っていれば、簡単なのかもしれませんが、
 こちらに来てから初めて見た乗り物なので、私はまだうまく乗れません。

 転ぶことはないのですが、コツは思い切って早く漕ぐことですかね。
 あと、椅子の高さも結構大事だと思います。

 そんな私ですが、明日が晴れたら自転車で少し遠出してみようと思います。
 万が一のために、先生の携帯電話もかりました。
 どうなることやら…
 こんばんは、ライネです。


 さて今日は、地形図の描き方のついての説明です。
 前に色々な世界地図の話をした時にも登場しましたが、
 いわゆる「何とか図法」の言い方をすれば、地形図はUTM図法と言う、
 ちょっとかっこいい図法で描かれています。

 UTMとは「Universal Transverse Mercator」の頭文字でして、
 日本では「ユニバーサル横メルカトル」と訳されます。
 全然訳されてない!
 
 ユニバーサルを辞書で調べようと思ったのですが、手元の辞書には書かれていない!
 しょうがないので、インターネットで調べますと、

 ①一般的であるさま。すべてに共通であるさま。普遍的。
 ②宇宙的なさま。全世界的。

 という説明でした。

  地図に関するいろいろな情報を取り扱っている、日本地図センターの説明によると、

 UTM座標系は、Universal Transverse Mercator systemの和訳で、各国が大きな縮尺の地図を作成する際、ガウス・クリューゲル図法を用いるに当たり国際的に取り決められた、1投影面の適用範囲やシステム等の準則があり、それをUTM座標系と呼びます。
 我国の地形図に「投影はUTM図法」と表示してあるのは、UTMの国際的な準則に従っていることの意味と解釈できます。
 http://www.jmc.or.jp/faq/map2.html

 とあるので、ユニバーサルという意味は「国際的に取り決められた」と捉えると都合がよさそうです。

 メルカトルの名前があるので、広い意味で言えばメルカトル図法の仲間だと思うのですが、
 「ガウス・クリューゲル図法」という気になる言葉が出てきました。

 調べてみると、ガウスさんとクリューゲルさんが作った地図だからこの名前が付いたようです。
 正確に言うと、ガウスさんが考えて、クリューゲルさんが整理してつくったらしいですね。

 ちなみに、このガウスさんですが、どこかで聞いた気がすると思ったら、
 あの数学者のガウスさんでした。

 Q.E.D証明終了の中で、しびれるエピソードには必ず登場すると言ってもいい、
 個人的には準レギュラーくらいの扱いのガウスさんですよ!?
  ※7巻「Serial John Doe」での虚数の説明、38巻「十七」の複素数平面で登場。
  この2話は本当に、本当に、本当に素晴らしい!
 
 ガウスさん、思わぬところでこんにちは。
 このガウス・クリューゲル図法は地球を回転楕円体であることを考慮した図法です。
 メルカトル図法の一種ですが、メルカトル図法はすっぽり地球を円筒に入れて、
 全体を一度に投影するのに対し、こちらは楕円が紙に接する部分の、
 ごくわずかな部分を中心に投影する物です。

 ガウスクリューゲル図法

 実は、相当ややこしい計算をすることで、地球全体とは言えませんが、
 広い範囲を一気に描くことのできる地図もできるらしいのですが、地形図に関しては図の方法を
 採用しているそうです。

 まあ、ややこしい計算をする分、かなり精度の高い世界地図にはなりますが、
 世界地図である以上、やはりどこかしらでひずみが生じるのは、地図の宿命ですね。

 ちなみに、地形図はあの細長くなった一度に描ける部分をさらに小さく切っているので、
 誤差はは無視できるほど小さいものになります。
 詳しくはまた今度!

UTM図法という逆転の発想

 昨日予告したとおり、自転車で遠出してきました。
 風が強かったものの、何とか目的地までたどり着くことができて良かったです。
 こんばんはライネです。

 どうしてこんなことになったのかと言いますと、先生が昔乗っていた自転車を、
 お友達にあげることになったということで、私が直接漕いで行ったわけです。

 目的地は杉並区と中野区の間くらい。
 先生の家はさいたま市なので、大体20kmくらい。

 とても先生の年老いた体力では乗っていけないということと、
 自転車を業者さんに運んでもらう場合、相当なお金がかかってしまうということで、
 私がお手伝いすることとなりました。

 前日に地図を作ってもらい、万が一のために携帯電話も借りていざ出発。
 迷うことも、万が一の事態にも遭遇せずに目的地までたどり着けましたが、
 わたしの運転能力では、自転車に乗ったまま坂道を登ることができなかったり、
 細い道を進めなかったりと、それなりの苦労はありました。

 実はフィールドワークも兼ねてデジタルカメラも持って行ったのですが、
 とてもそんな余裕はなく、ひたすら自転車を漕ぐので精一杯でした。

 本当はその様子を報告する予定だったのですが、
 そういうことなので、今日は大人しくUTM図法の詳しい話をします。


 そもそもUTM図法とガウス・クリューゲル図法はどう違うのでしょうか。
 調べた結果、要するにUTM図法はガウス・クリューゲル図法に少し変わった
 補正をかけていることがわかりました。


 まず、そもそものメルカトル図法では赤道はかなり正確に描けるけれど、
 緯度が高くなるほど、どんどんと誤差が生じるようになります。
 これは、投影法を使っているのでどうしようもありません。

メルカトル図法のおさらい

 そこで横メルカトル図法というアイディアが登場しました。
 つまり筒を横にすることで、紙に接する部分が赤道ではなく好きな縦線(経線)に
 できるように変えたわけです。

横メルカトル図法のしくみ

 ところが、根本的な解決にはなっておらず、好きな縦線(経線)から離れれば、
 元々のメルカトル図法と同じ問題に直面します。


 そこで、好きな縦線(経線)を中心にして、6度ずつの範囲だけを描くことにしました。
 これがガウス・クリューゲル図法になるようです。

ガウス・クリューゲル図法


 けれども左右に3度広がるため、中央の縦線(中央経線)を1倍とすると、
 ごくごくわずかですが、中央の縦線からの距離に応じて1+α倍のずれが生じてしまいます。
 それでも世界地図サイズに比べればずれは少ないのですが、
 結果的に本当に正しいところは中央の縦線のみで、平均すると1倍以上の誤差を生じることになります。

 ここにこだわって生まれたのがUTM図法ということになります。
 どうしたら誤差を少なくできるか、平均誤差を1倍以内に収めるためにどうしたらいいか、
 そこで取られた方法が、中央の縦線を0.9996倍にしちゃえばいいじゃないというものでした。

UTM図法

 正しいハズの中央の縦線をわざと小さく書くという逆転の発想。
 こうすることで、図中に2カ所の1倍地点をつくり、さらに全体で見ればほとんど1倍という、
 UTM図法が誕生しました。
プロフィール

ライネ

Author:ライネ
ライネと申します。
先生の家に居候するラザフォード人です。
現在この世界のことを勉強中。
リンクとかもろもろ含めて商業的利用以外ならご自由にどうぞ。面白そうな企画には飛び乗ります。

合言葉は「真面目な事を不真面目に!」
記事の真偽は自己責任でお願いします。

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